Problema 3.102

P 3.102

Las masas de dos niños sentados en los extremos A y B de una balancín son de 38 y 29 Kg, respectivamente. Determine dónde debe sentarse un tercer niño si la resultante de las fuerzas de los pesos de los tres niños debe pasar por C, y si la masa del 3er niño es de a) 27 kg, b) 24 kg.

Problema resuelto 3.10

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Problema resuelto 3.9

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Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par

Considerese un sistema de fuerzas F1, F2, F3, . . . que actúan sobre un cuerpo rígido en los puntos A1, A2, A3, . . . definidos por los vetores de posición r1, r2, r3, etc. (figura 3.41 a). F1 puede ser trasladada de A1 a un punto dado O, si se agrega al sistema oriaginal de fuerzas un par de momento M1, igual al momento r1 x F1 de F1 con respecto a O. Si se repite este procedimiento con F2, F3, . . . , se obtiene el sistema mostrado en la figura 3.41 b, que consta de: las fuerzas originales, ahora actuando en O, y los vectores de par que han sido agregados. Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser sumadas vectorialmente y reemplazadas por su resultante R. De manera similar, los vectores de par M1, M2, M3, . . . pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazados por un solo vector de par MRO. Por tanto, cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O (figura 3.41 c). Se debe observar que mientras cada uno de los vectores de par M1, M2, M3, . . . , en la figura 3.41 b es perpendicular a la fuerza que le correpsonde, en general la fuerza resultante R y el vector de par resultante MRO en la figura 3.41 c no serán perpendiculares entre sí.

Problema 3.72

P 3.72

Los dos ejes de un reductor de velocidad están sometidos a la acción de los pares M1 = 18 N.m y M2 = 7.5 N.m, respectivamente. Remplace ambos pares por un solo par equivalente y especifique su magnitud y dirección de su eje.

M = M1 + M2

M1 = (18 N.m) k
M2 = (7.5 N.m) i

M = (7.5 N.m) i + (18 N.m) k

M = √(7.5)² + (18)²

M = 19.54 N.m
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λ = M/|M| = (7.5 N.m) i + (18 N.m) k/19.54 N.m
= (5/13 ) i + (12/13) k

θx = arc cos 5/13 ---> θx = 67.38º

θy = cos 0 ---> θy = 90º

θz = arc cos 12/13 ---> θz = 22.62º

Problema 3.69

P 3.69

Una pieza de madera laminada en la que se están taladrando sucesivamente varios orificios se asegura a un banco de trabajo por medio de dos clavos. Si el taladro ejerce un par de 12 N.m sobre la pieza de madera, determine la magnitud de las fuerzas resultantes aplicadas a los clavos si éstos se ecnuentran a) en A yB, b) en B y C, c) en A y C.



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M = Fd

a)

12 N.m = F (. 45 m)
F = 26.7 N

b)

12 N.m = F (.24 m)
F = 50 N

c)

c² = a² + b²
c = √(.45)² + (.24)²
c = 0.51 m

12 N.m = F (.51 m)
F = 23.5 N

Problema resuelto 3.6

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Momento de un par

Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (figura 3.30).


Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacerlo rotar.
Al representar con rA y rB, respectivamente, a los vectores de posición de los puntos de aplicación de F y -F (figura 3.31), se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es

rA x F + rB x (-F) = (rA - rB) x F

Si se define rA - rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y -F, con respecto a O, está representado por el vector

M = r x F ------> (3.47)

El vector M se conoce como el momento del par; se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud est á dado por

M = rF sen θ = Fd

donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y -F. El sentido de M está definido por la regla de la mano derecha.
Como el vector r en (3.47) es independiente de la elección del origen O de los ejes coordenados, se observa que se obtendría el mismo resultado s i los momentos de F y -F se hubieran calculado con respecto a un punto O'. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto (figura 3.32).


A partir de la definición del momento de un par tambien se concluye que dos pares, uno constituido por las fuerzas F1 y -F, y el otro constituido por las fuerzas F2 y -F2 (figura 3.33) tendrán momentos iguales si

F1d1 = F2d2

y si los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano) y tienen el mismo sentido.