sábado, 31 de enero de 2009

Ejercicio 2 - Resultante de dos fuerzas


Ejercicio:

Un lanchón es arrastrado por dos remolcadores. Si la resultante de las fuerzas ejercidas por los remolcadores es una fuerza de 5 000 lb dirigida a lo largo del eje del lanchón, determine: la tensión en cada una de las cuerdas, sabiendo que α = 45°.




Ley del paralelogramo




Usamos ley de senos, pues encontramos todos sus ángulos:


5000/sen 105° = T1/sen 45°

T1 = 5000 sen 45°/sen 105° = 3660 lb

5000/sen 105° = T1/sen 45°

T2 = 5000 sen 30°/sen 105° = 2588 lb

Ejercicio 1 - Resultante de dos vectores

La resultante de dos vectores es equivalente a su suma.
Las fuerzas se representan como vectores.


Ejercicio:


Las dos fuerzas P y Q actuan sobre el perno A. Determine su resultante.






Ley del paralelogramo:


Ley de senos:



sen α/a = sen β/b = sen ϑ/c







Ley de cosenos:

a²=b²+c²-2bc cos α

En este caso por tener 2 lados y el angulo adyacente entre ellos, usamos la ley de cosenos:

R²=40²+60²-2(40)(60) cos (155°)

R = 97.7 N

miércoles, 28 de enero de 2009

Ejercicio - Vectores


Definicion de un vector en el plano mediante sus componentes


Si ¨V¨ es un vector en el plano cuyo punto inicial es el origen y cuyo punto final es 1,V2> entonces el vector

queda dado mediante sus componentes de la siguiente manera:



Si las coordenadas V1 y V2 son las componentes de V, y si el punto inicial y el punto final estan en el origen entonces ¨V¨
es el vector ¨0¨ y se denota po:

Ejemplo:

P(3,-7)-Punto inicial

Q(-2,5)-Punto final



Segmento en el plano dirigido




Ejercicio:


* Hayar los vectores U y V cuyos puntos inicial y final se dan. Mostrar que U y V son equivalentes.

U : P (3,2) - Q (5,6)
V : P (-1,4) - Q (1,8)

--------------------

U : P(3,2) = Punto inicial - Q (5,6) = Punto final

V : P (-1,4) = Punto inicial - Q (1,8) = Punto final

Segmento en el Plano:

PQ = (Q1-P1,Q2-P2)
= <5-3,6-2>

U = <2,4>

U= √(2)²+(4)² = √20 = +4.47V=<2,4>
V=√(2)²+(4)²= √20 = +4.47


-------------------

U : (0,3) - Q (6,2)
V : (3,10) - Q (9,5)

U : P(0 , 3) = Punto inicial - Q (6 , -2) = Punto final

Segmento en el Plano:

PQ = <6,-5>

U= √(6)²+(-5)²
= √61
= +7.81



V : P (3 , 10) = Punto inicial - Q (9 , 5) = Punto final

Segmento en el Plano:

PQ = <6,-5>

V= √(6)²+(-5)²
= √61
= +7.81


Estática - Conceptos


Vectores: Son modelos matemáticos.



Vectores


Sea el vector V, representa una cantidad física y, se compone de:

1. Módulo: (magnitud) valor numérico y absoluto del mismo, expresa la cantidad que representa el mismo y se le asigna una unidad.


2. Dirección: recta de acción, que según el sistema de referencia posee una inclinación α.

3. Sentido: según el sistema de referencia, tendrá signo positivo o negativo.

4. Origen: punto de aplicación.

Fuerza


Magnitud física que se representa con un vector y su unidad puede ser Newton (N), kilogramo fuerza (kg) o dina (din).


Resultante

Es la suma vectorial de todas las fuerzas aplicadas y no aplicadas a un sistema.



Momento de una fuerza

El momento de una fuerza es el producto de dicha fuerza por la distancia perpendicular a un determinado eje de giro. Cuando se aplica una fuerza a una puerta pesada para abrirla, la fuerza se ejerce perpendicularmente a la puerta y a la máxima distancia de las bisagras. Así se logra un momento máximo. Si se empujara la puerta con la misma fuerza en un punto situado a medio camino entre el tirador y las bisagras, la magnitud del momento sería la mitad. Si la fuerza se aplicara de forma paralela a la puerta (es decir, de canto), el momento sería nulo.


Vector momento

Sea el vector distancia, un vector perpendicular a una fuerza, de magnitud igual a la distancia entre un punto A y la recta de acción de la fuerza, se define como vector momento de la fuerza con respecto al punto A :


Sentido horario
- F

Sentido horario del momento de una fuerza


Sentido antihorario

+ F

Sentido antihorario del momento de una fuerza


El producto vectorial entre el vector fuerza y el vector distancia, cuya dirección es perpendicular al plano que forman el punto A y la fuerza y, el sentido dependerá del vector fuerza (horario - antihorario).

Vista tridimensional

Vista tridimensional según la regla del tirabuzón (para la mano izquierda)

Las unidades del vector momento son: N.m, kilográmetro (kgm) ó din.cm. por ser éste un producto vectorial.

------------------------------------------------------------------------------------------------

Vector, resultante de dos fuerzas y ley del paralelogramo


Las magnitudes vectoriales, para quedar definidas, además de la cantidad expresada en números y el nombre de la unidad, requieren que se señale la direccion y el sentido.

La direccion de una fuerza se define por la linea de accion (recta) y el sentido de la fuerza. La línea de accion es la linea recta infinita a lo largo de la cual actua la fuerza, la cual es igual a lo largo de esta debido al principio de transmisibilidad, y se caracteriza por el angulo que forma con algun eje fijo.

La fuerza en si se representa por un segmento de esa linea; mediante el uso de una escala apropiada, puede escogerse la longitud de este segmento para representa la magnitud de la fuerza. Finalmente el sentido de una fuerza debe indicarse por una punta de flecha.


La evidencia experimental muestra que dos fuerzas P y Q que actuan sobre una particula A (figura 2.2a), pueden sustituirse por una sola fuerza R que produce el mismo efecto sobre la particula (figura 2.2c). A esta fuerza se le llama resultante de las fuerzas P y Q y puede
obtenerse, como se muestra en la figura 2.2b, construyendo unparalelogramo con P y Q como lados. La diagonal que pasa por A representa la resultante. Esto se conoce como la ley del paralelogramo para la acción de dos fuerzas, y se basa en la evidencia experimental; no puede probarse ni derivarse de manera mátematica.

Estática - Introducción


La Estática es la parte de la mecánica que estudia el equilibrio de fuerzas, sobre un cuerpo en reposo.

Análisis del equilibrio

La estática proporciona, mediante el empleo de la mecánica del sólido rígido, solución a los problemas denominados isostáticos. En estos problemas, es suficiente plantear las condiciones básicas de equilibrio, que son:

  1. El resultado de la suma de fuerzas es nulo.
  2. El resultado de la suma de momentos respecto a un punto es nulo.
  • Estas dos condiciones, mediante el álgebra vectorial, se convierten en un sistema de ecuaciones; la resolución de este sistema de ecuaciones, es resolver la condición de equilibrio.
  • Existen métodos de resolución de este tipo de problemas estáticos mediante gráficos, heredados de los tiempos en que la complejidad de la resolución de sistemas de ecuaciones se evitaba mediante la geometría, si bien actualmente se tiende al cálculo por ordenador.

Para la resolución de problemas hiperestáticos (aquellos en los que el equilibrio se puede alcanzar con distintas combinaciones de esfuerzos) es necesario considerar ecuaciones de compatibilidad. Dichas ecuaciones adicionales de compatibilidad se obtienen mediante la introducción de deformaciones y tensiones internas asociadas a las deformaciones mediante los métodos de la mecánica de sólidos deformables, que es una ampliación de la mecánica del sólido rígido que, además, da cuenta de la deformabilidad de los sólidos y sus efectos internos.

Existen varios métodos clásicos basados en la mecánica de sólidos deformables, como los teoremas de Castigliano o las fórmulas de Navier-Bresse, que permiten resolver un buen número de problemas hiperestáticos de modo simple y elegante.


Esquema de fuerzas y momentos en una viga en equilibrio


Suma de fuerzas

Cuando sobre un cuerpo o sólido rígido actúan varias fuerzas que se aplican en el mismo punto, el cálculo de la fuerza resultante resulta trivial: basta sumarlas vectorialmente y aplicar el vector resultante en el punto común de aplicación.

Sin embargo, cuando existen fuerzas con puntos de aplicación diferentes es necesario determinar el punto de aplicación de la fuerza resultante. Para fuerzas no paralelas esto puede hacerse sumando las fuerzas dos a dos. Para ello se consideran dos de las fuerzas y se trazan rectas prolongando las fuerzas en ambos sentidos y buscando su intersección. Esa intersección será un punto de paso de la fuerza suma de las dos. A continuación se substituyen las dos fuerzas por una única fuerza vectorial suma de las dos anteriores aplicada en el punto de intersección. Esto se repite n-1 veces para un sistema de n fuerzas y se obtiene el punto de paso de la resultante.

Este algoritmo puede ser bastante pesado para un número de fuerzas elevado. Además cuando varias de las fuerzas son paralelas puede no funcionar. Para hacer más rápido el cálculo del punto de paso puede usarse en el caso de fuerzas coplanares el método del polígono funicular, que es computacionalmente más rápido y aplicable también al caso de que todas las fuerzas sean paralelas (y por tanto sus rectas de acción, sin puntos de intersección).

Aplicaciones

La estática abarca el estudio del equilibrio tanto del conjunto como de sus partes constituyentes, incluyendo las porciones elementales de material.

Uno de los principales objetivos de la estática es la obtención de esfuerzos cortantes, fuerza normal, de torsión y momento flector a lo largo de una pieza, que puede ser desde una viga de un puente o los pilares de un rascacielos.

Su importancia reside en que una vez trazados los diagramas y obtenidas sus ecuaciones, se puede decidir el material con el que se construirá, las dimensiones que deberá tener, límites para un uso seguro, etc., mediante un análisis de materiales. Por tanto, resulta de aplicación en ingeniería estructural, ingeniería mecánica, construcción, siempre que se quiera construir una estructura fija. Para el análisis de una estructura en movimiento es necesario considerar la aceleración de las partes y las fuerzas resultantes.

El estudio de la Estática suele ser el primero dentro del área de la ingeniería mecánica, debido a que los procedimientos que se realizan suelen usarse a lo largo de los demás cursos de ingeniería mecánica.

Libro Guía - Mecánica Vectorial para Ingenieros - Estática

martes, 27 de enero de 2009

Estática - Temario


1 Análisis de la partícula
1.1 Introducción
1.2 Concepto de fuerza, vector
1.3 Descomposición de fuerzas en 2 y 3 dimensiones (expresión de fuerzas con vectores unitarios, cosenos directores)
1.4 Sistema de fuerzas concurrentes
1.5 Equilibrio de una partícula
2 Análisis del cuerpo rígido
2.1 Fuerzas internas y externas
2.2 Principio de transmisibilidad
2.3 Diagrama de cuerpo libre
2.4 Momento de una fuerza con respecto a un punto
2.5 Momento de una fuerza con respecto a un eje
2.6 Par de fuerzas
2.7 Descomposición de una fuerza en una fuerza y un par
2.8 Sistemas equivalentes de fuerzas
2.9 Fuerzas coplanares
2.10 Fuerzas concurrentes
2.11 Restricciones al movimiento y fuerzas reactivas
2.12 Equilibrio en cuerpos rígidos sujetos a sistemas de fuerzas
2.13 Determinación de reacciones por medio de sistemas equivalentes3
3 Método de análisis de estructuras
3.1 Introducción
3.2 Análisis de armadura en el plano
3.3 Análisis de marcos isostaticos
3.4 Análisis de maquinas de baja velocidad
3.5 Método del trabajo virtual4
4. Propiedades de áreas planas y lineas
4.1. Introducción
4.2. Primer momento de lineas y áreas (centroides y centros de gravedad de áreas por integración y compuestas)
4.3. Segundo momento de área (simple, polar de área, teorema de ejes paralelos en 2 dimensiones, segundo momento de áreas compuestas)
5 Fricción
5.1 Fricción
5.2 Fricción seca
5.3 Leyes de fricción
5.4 Coeficientes y ángulos de fricción
5.5 Análisis en planos inclinados