Ejercicios resueltos

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Problema resuelto 5.1

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Centroides y centros de gravedad - Tablas centroides de areas y lineas comunes

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Problema de examen - 6.11

Mediante el metodo de secciones, determine la fuerza en el elemento BE de la armadura.




* Armadura completa:

∑Fx = 0

Ax = 0

∑MA = 0

- (1.26m) (3KN) - (2.52m) (6KN) - (3.78m) (1KN) + G (3.78m) = 0

-22.68 KN.m + G (3.78m) = 0

G = 6 KN

∑Fy = 0

Ay - 3KN - 6KN - 1KN = 0

Ay = 4 KN


Sección:


α = arc tan (1.2/1.26)

α = 43.6º

MB = 0

- (1.26m) (4KN) + (TCF) (1.2m) = 0

TCF = 4.2 KN

∑Fy = 0

4 KN - 3KN - TBE sen 43.6º = 0

TBE = -1KN/sen 43.6º

TBE = -1.45 ;

TBE = 1.45 KN - Compresion

Problema resuelto 6.2 - Metodo de secciones

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Problema 6.4

P 6.4

Utilice el método de nodos para determinar la fuerza presente en el elemento BA de la armadura que muestra la figura. Establezca si los elementos están en tensión o en compresión.





* Armadura completa

∑Fx = 0

-375 lb + Bx = 0

Bx = 375 lb

∑MB = 0

Cy (6) + 375 (8) - 300 (14.4) = 0

Cy = 700 lb

∑Fy = 0

By = -200 lb

* Nodo B:

∑Fy = 0

-200 lb + FBA (8/10) = 0

FBA = (200)/(8/10)

FBA = 250 lb - tensión

Problema resuelto 6.1 - Metodo de nodos

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Analisis de estructuras

Este tipo de problemas, ademas de determinar las fuerzas externas que actúan sobre la estructura, implican calcular las fuerzas que mantienen unidas a las diversas partes que la constituyen. Desde el punto de vista de la estructura como un todo, estas fuerzas son fuerzas internas.
Por ejemplo, considerese la grúa mostrada en la figura 6.1 a, la cual soporta una carga W. La grúa consta de tres vigas AD, CF y BE que están conectadas por medio de pernos sin fricción; la grúa está apoyada por un cuerpo en A y un cable DG. La figura 6.1 b representa el diagrama de cuerpo libre de la grúa. Las fuerzas externas que se muestran en el diagrama incluyen al peso W, a las dos componentes Ax y Ay de la reaccion en A y a la fuerza T ejercida por el cable en D. Las fuerzas internas que mantienen unidas las diversas partes de la grúa no aparecen en el diagrama. Sin embargo, si se desarma la grúa y se dibuja un diagrama de cuerpo libre para cada una de las partes que la constituyen, las fuerzas que mantienen unidas a las tres vigas tambien estarán representadas puesto que dichas fuerzas son externas desde el punto de vista de cada una de las partes que forman la grúa (figura 6.1 c).

Problemas de Evaluación

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1)


2)

3)




4)

Problema 3.102

P 3.102

Las masas de dos niños sentados en los extremos A y B de una balancín son de 38 y 29 Kg, respectivamente. Determine dónde debe sentarse un tercer niño si la resultante de las fuerzas de los pesos de los tres niños debe pasar por C, y si la masa del 3er niño es de a) 27 kg, b) 24 kg.

Problema resuelto 3.10

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Problema resuelto 3.9

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Reducción de un sistema de fuerzas a una fuerza y un par

Considerese un sistema de fuerzas F1, F2, F3, . . . que actúan sobre un cuerpo rígido en los puntos A1, A2, A3, . . . definidos por los vetores de posición r1, r2, r3, etc. (figura 3.41 a). F1 puede ser trasladada de A1 a un punto dado O, si se agrega al sistema oriaginal de fuerzas un par de momento M1, igual al momento r1 x F1 de F1 con respecto a O. Si se repite este procedimiento con F2, F3, . . . , se obtiene el sistema mostrado en la figura 3.41 b, que consta de: las fuerzas originales, ahora actuando en O, y los vectores de par que han sido agregados. Como ahora las fuerzas son concurrentes, pueden ser sumadas vectorialmente y reemplazadas por su resultante R. De manera similar, los vectores de par M1, M2, M3, . . . pueden sumarse vectorialmente y ser reemplazados por un solo vector de par MRO. Por tanto, cualquier sistema de fuerzas, sin importar que tan complejo sea, puede ser reducido a un sistema equivalente fuerza-par que actúa en un punto dado O (figura 3.41 c). Se debe observar que mientras cada uno de los vectores de par M1, M2, M3, . . . , en la figura 3.41 b es perpendicular a la fuerza que le correpsonde, en general la fuerza resultante R y el vector de par resultante MRO en la figura 3.41 c no serán perpendiculares entre sí.

Problema 3.72

P 3.72

Los dos ejes de un reductor de velocidad están sometidos a la acción de los pares M1 = 18 N.m y M2 = 7.5 N.m, respectivamente. Remplace ambos pares por un solo par equivalente y especifique su magnitud y dirección de su eje.

M = M1 + M2

M1 = (18 N.m) k
M2 = (7.5 N.m) i

M = (7.5 N.m) i + (18 N.m) k

M = √(7.5)² + (18)²

M = 19.54 N.m
--------------------------------------------------



λ = M/|M| = (7.5 N.m) i + (18 N.m) k/19.54 N.m
= (5/13 ) i + (12/13) k

θx = arc cos 5/13 ---> θx = 67.38º

θy = cos 0 ---> θy = 90º

θz = arc cos 12/13 ---> θz = 22.62º

Problema 3.69

P 3.69

Una pieza de madera laminada en la que se están taladrando sucesivamente varios orificios se asegura a un banco de trabajo por medio de dos clavos. Si el taladro ejerce un par de 12 N.m sobre la pieza de madera, determine la magnitud de las fuerzas resultantes aplicadas a los clavos si éstos se ecnuentran a) en A yB, b) en B y C, c) en A y C.



------------------------------------------------

M = Fd

a)

12 N.m = F (. 45 m)
F = 26.7 N

b)

12 N.m = F (.24 m)
F = 50 N

c)

c² = a² + b²
c = √(.45)² + (.24)²
c = 0.51 m

12 N.m = F (.51 m)
F = 23.5 N

Problema resuelto 3.6

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Momento de un par

Se dice que dos fuerzas F y -F que tienen la misma magnitud, líneas de acción paralelas y sentidos opuestos forman un par (figura 3.30).


Obviamente, la suma de las componentes de las dos fuerzas en cualquier dirección es igual a cero. Sin embargo, la suma de los momentos de las dos fuerzas no originarán una traslación del cuerpo sobre el que están actuando, éstas sí tenderán a hacerlo rotar.
Al representar con rA y rB, respectivamente, a los vectores de posición de los puntos de aplicación de F y -F (figura 3.31), se encuentra que la suma de los momentos de las dos fuerzas con respecto a O es

rA x F + rB x (-F) = (rA - rB) x F

Si se define rA - rB = r, donde r es el vector que une los puntos de aplicación de las dos fuerzas, se concluye que la suma de los momentos de F y -F, con respecto a O, está representado por el vector

M = r x F ------> (3.47)

El vector M se conoce como el momento del par; se trata de un vector perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas y su magnitud est á dado por

M = rF sen θ = Fd

donde d es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de F y -F. El sentido de M está definido por la regla de la mano derecha.
Como el vector r en (3.47) es independiente de la elección del origen O de los ejes coordenados, se observa que se obtendría el mismo resultado s i los momentos de F y -F se hubieran calculado con respecto a un punto O'. Por tanto, el momento M de un par es un vector libre que puede ser aplicado en cualquier punto (figura 3.32).


A partir de la definición del momento de un par tambien se concluye que dos pares, uno constituido por las fuerzas F1 y -F, y el otro constituido por las fuerzas F2 y -F2 (figura 3.33) tendrán momentos iguales si

F1d1 = F2d2

y si los dos pares se encuentran en planos paralelos (o en el mismo plano) y tienen el mismo sentido.

Momento de una fuerza con respecto a un eje dado

Considérese la fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido y el momento Mo de dicha fuerza con respecto a O (figura 3.27). Sea OL un eje a través de O; el momento MOL de F con respecto a OL se define como la proyección OC del momento Mo sobre el eje OL. Representando el vector unitario a lo largo de OL como λ, se tiene

MOL = λ . MO = λ . (r x F)

lo cual demuestra que el momento MOL de F con respecto al eje OL es el escalar que se obtiene formando el producto triple escalar de λ, r y F.

Problema 3.23

P 3.23

Antes de colocar un cable telefónico, la cuerda BAC se ata a una estaca situada en B y se pasa por una polea en A. Si el tramo AC de la cuerda pertenece al plano paralelo xy, y la magnitud de la tensión T en la cuerda es de 62 lb, determine el momento respecto a O de la fuerza resultante ejercida por la cuerda sobre la polea.



T = 62 lb

MO = rA/O X F

rA/O = 0 i + (30 ft) j + (3 ft) k

TAB = 62 lb (λ AB)

λAB = AB/|AB| = (5 ft) i + (-30 ft) j + (6 ft) k/ √(5)² + (-30)² + (6)²

= (5 ft) i/31 , (-30 ft) j/31 , (6 ft) k/31 = (0.16129) i - (0.9677) j + (0.193548) k x 62 lb

TAB = (10 lb) i - (60 lb) j + (12 lb) k

TAC = (-62 lb) cos 10º - (62 lb) sen 10º = (-61.058 lb) i + (-10.766 lb) j

R = TAB + TAC

Rx = (-51.058 lb) i
Ry = (-70.766 lb) j
Rz = (12 lb) k


Momento con respecto a O de la fuerza resultante


MOX = (30 ft x 12 lb) i + (3 ft x -70.766 lb) -i = 360 lb.ft + 212.3 lb.ft

MOX = (572.3 lb.ft) i



MOY = (3 ft x -51.050 lb) j

MOY = (-153.174 lb.ft) j


MOZ = (30 ft x -51.058 lb) -k

MOZ = (1 531.68 lb.ft) k

Ejercicio 3.3

P 3.3


Una fuerza P de 3 lb se aplica a una palanca que controla la barrena de una barredora de nieve. Determine el momento de P respecto a A cuando α es igual a 30º.


---------------------------------



Px = 3 cos (240º) = (-1.5 lb) i
Py = 3 sen (240º) = (-2.598 lb) j

c = √(4.8)² + (3.4)²

c = 5.88 in.

MA = (-3.4 in) (-2.59 lb) k - (4.8 in) (-1.5 lb) k
MA = (+ 8.833 + 7.2) k

MA = 16.0332 lb. in

Problema resuelto 3.1

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Componentes rectangulares del momento de una fuerza

En general, la determinación del momento de una fuerza en el espacio se simplifica en forma considerable si el vector de fuerza y el vector de posición a partir de su punto de aplicación se descomponen en sus componentes rectangulares x, y y z. Por ejemplo, considere el momento Mo con respecto a O de una fuerza F con componentes Fx, Fy y Fz que está aplicada en el punto A de cooredenads x, y y z (figura 3.15).



Se observa que las componentes del vector de posición r son iguales, respectivamente, a las cooredenadas x, y y z del punto A, se escribe

r = xi + yj + zk -----> (3.15)

F = Fxi + Fyj + Fzk ------> (3.16)

Al sustituir a r y a F a partir de (3.15) y (3.16) en

Mo = r X F

se puede escribir el momento Mo de F con respecto a O de la siguiente forma

Mo = Mxi + Myj + Mzk

donde las componentes escalares Mx, My y Mz están definidas por las relaciones

Mx = yFz - zFy

My = zFx - xFz

Mz = xFy - yFx

Teorema de varignon

La propiedad distributiva de los productos vectoriales se puede emplear para determinar el momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes. Si las fuerzas F1, F2,... se aplican en el mismo punto A(figura 3.14) y si representa por r al vector de posición A, a partir de la ecuación "P x (Q1 + Q2) = P x Q1 + P x Q2", se puede concluir que

r = x (F1 + F2 + ...) = r x F1 + F2 + ...

Esto es, el momento con respecto a un punto dado O de la resultante de varias fuerzas concurrentes es igual a la suma de los momentos de las distintas fuerzas con respecto al mismo punto O.

Momento de una fuerza con respecto a un punto

Considere una fuerza F que actúa sobre un cuerpo rígido (figura 3.12a).
Como se sabe, la fuerza F está representada por un vector que define la magnitud y su dirección. Sin embargo, el efecto de la fuerza sobre el cuerpo rígido tambien depende de su punto de aplicación A. La posición de A puede definirse de manera conveniente por medio del vector r que une al punto de referencia fijo O con A; a este vector se le conoce como el vector de posición de A. El vector de posición r y la fuerza F definen el plano mostrado en la figura 3.12a.



El momento de F con respecto a O se define como el producto vectorial de r y F:

MO = r xF

Si se representa con θ el ángulo entre las líneas de acción de r y F, se encuentra que la magnitud del momento de F con respecto a O puede expresarse como

MO = rF sen θ = Fd

donde d representa la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de F.

El sentido de Mo está definido por el sentido de la rotación que haría al vector r colineal con el vector F; un observador localizado en el extremo de Mo ve a esta rotación como una rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. Otra forma de definir el sentido de Mo se logre por medio de la regla de la mano derecha (figura 3.12b).


La magnitud de MO mide la tendencia de la fuerza F a hacer rotar al cuerpo rígido alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de MO.

Ejemplo:

En el sistema de unidades de SI, donde la fuerza se expresa en newtons (N) y la distancia se expresa en metros (m), el momento de una fuerza estará expresado en newtons-metro (N . m).
Mientras que en el sistema de unidadedes ingles será lb . ft (libras por pie).

Productos vectoriales expresados en términos de sus componentes

Considérese el producto i x j (figura 3.10a) Como ambos vectores tiene una magnitud igual a 1 y dado que éstos forman ángulos rectos entre sí, su producto vectorial tambien deberá ser un vector unitario. Dicho vector unitario debe ser k, puesto que los vectores i, j y k son mutuamente perpendiculares y forman una tríada a mano derecha. Por otra parte, a partir de la regla de la mano derecha, se concluye que el producto j x i debe ser igual -k (figura 3.10b).




Por último se debe observar que el producto vectorial de un vector consigo mismo, como i x i, es igual a cero debido a que ambos vectores tienen la misma dirección. Los productos vectoriales para los diversos pares posibles de vectores unitarios son

Si se ordenan las tres letras que representan a los vectores unitarios en un círculo en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj (figura 3.11) se puede determinar facilmente el signo del producto vectorial de dos vectores unitarios: el producto de dos vectores unitarios será positivo si éstos se siguen uno a otro en un oreden contrario al movimiento de las manecillas del reloj y será negativo si éstos se siguen uno al otro en un oreden en el sentido de las manecillas del reloj.


Ahora se puede expresar fácilmente el producto vectorial V de dos vectores P y Q en términos de las componentes rectangulares de dichos vectores. Al descomponer P y Q en sus componentes rectangulares, primero se escribe

V = P x Q = (Pxi + Pyj + Pzk) x (Qxi + Qyj + Qzk)

Despues al factorizar a i, j y k, se obtiene

V = (PyQz - PzQy) i + (PzQx - PxQz) j + (PxQy - PyQx) k

Producto vectorial de dos vectores

El producto vectorial de los vectores P y Q se define como el vector V que satisface las siguientes condiciones.

1. La línea de acción de V es perpendicular al plano que contiene a P y Q (figura 3.6a).

2. La magnitud de V es el producto de las magnitudes de P y Q por el seno del ángulo formado po P y Q (cuya medida siempre deberá ser menor o igual a 180º); por tanto, se tiene

V = PQ sen θ

3. La dirección de V se obtiene a partir de la regla de la mano derecha. Cierre su mano derecha y manténgala de manera que sus dedos estén doblados en el primer sentido que la rotación a través del ángulo θ que haría al vector P colineal con el vector Q; entonces, su dedo pulgar indicará la dirección del vector V (figura 3.6b). Observese que si P y Q no tienen un punto de aplicación común, estos primeros se deben volver a dibujar y V -tomados en ese orden- forman una triada a mano derecha.


El vector V que satisface estas tres condiciones (las cuales lo definen en forma única) se conoce como el producto vectorial de P y Q y se representaa por la expresión matemática

V = P X Q

Q X P no es igual a P X Q. De hecho, se puede verificar facilmente que Q X P está rerpresentado por el vector -V, que es igual y opuesto a V, entonces se escribe

Q X P = - (P X Q)

Cuerpos rígidos - Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes

Principio de transmisibilidad. Fuerzas equivalentes

El principio de transmisibilidad establece que las condiciones de quilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F' que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción (figura 3.3).


Las dos fuerzas F y F', tienen el mismo efecto sobre el cuerpo rígido y se dice que son equivalentes. Este principio establece que la acción de una fuerza puede ser transmitida a lo largo de su línea de acción, lo cual está basado en la evidencia experimental; no puede ser derivado a partir de las propiedades establecidas hasta ahora en este libro y, por tanto, debe ser aceptado como una ley experimental.

Examen 1 - Resolución

1. Dos fuerzas son aplicadas en el gancho que se muestra en la figura. Si la magnitud de P es de 14 lb, determine por trigonometría: a) el ángulo α requerido si la resultante R de las dos fuerzas aplicadas en el gancho es horizontal y b) la magnitud correspondiente de R.


2. Una caja de madera de 750 Kg está sostenida por tres cables como se muestra en la figura. Determine la tensión en cada cable.